行列式的性质
行列式的性质7：若行列式中某一行或某一列是另外两行或两列的线性组合，则行列式为零
重要程度：8 分
<h2>行列式的性质7：若行列式中某一行或某一列是另外两行或两列的线性组合，则行列式为零</h2>
<p><strong>重点内容：</strong></p>
<ul>
<li>如果行列式中某一行（或某一列）可以表示为其他行（或列）的线性组合，那么该行列式的值为零。</li>
<li>线性组合的意思是，某一行（或列）可以通过其他行（或列）经过加法和数乘运算得到。</li>
</ul>
<p><strong>例题说明：</strong></p>
<p>考虑以下3阶行列式：</p>
<pre>
| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |
</pre>
<p>假设第三行是第一行和第二行的线性组合，即：</p>
<pre>
a31 = k1 * a11 + k2 * a21
a32 = k1 * a12 + k2 * a22
a33 = k1 * a13 + k2 * a23
</pre>
<p>其中 \( k1 \) 和 \( k2 \) 是常数。根据性质7，这个行列式的值为零。</p>
<p><strong>证明：</strong></p>
<p>设行列式为 \( D \)，则有：</p>
<pre>
D = | a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| k1*a11 + k2*a21, k1*a12 + k2*a22, k1*a13 + k2*a23 |
</pre>
<p>根据行列式的性质，我们可以将第三行拆分为两个行列式的和：</p>
<pre>
D = | a11 a12 a13 | + | a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 | | a21 a22 a23 |
| k1*a11 k1*a12 k1*a13 | | k2*a21 k2*a22 k2*a23 |
</pre>
<p>这两个新的行列式分别是：</p>
<pre>
D1 = | a11 a12 a13 | 和 D2 = | a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 | | a21 a22 a23 |
| k1*a11 k1*a12 k1*a13 | | k2*a21 k2*a22 k2*a23 |
</pre>
<p>对于 \( D1 \)，第三行是第一行的 \( k1 \) 倍，因此 \( D1 = 0 \)。</p>
<p>对于 \( D2 \)，第三行是第二行的 \( k2 \) 倍，因此 \( D2 = 0 \)。</p>
<p>所以，\( D = D1 + D2 = 0 + 0 = 0 \)。</p>
<p>结论：当行列式中某一行或某一列是其他行或列的线性组合时，该行列式的值为零。</p>