行列式的性质
行列式的性质8：若将行列式中某一行或某一列的元素乘以常数k加到另一行或另一列相应位置的元素上，行列式的值不变
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<h2>行列式的性质8：行或列的线性组合</h2>
<p>若将行列式中某一行或某一列的元素乘以常数 <em>k</em> 加到另一行或另一列相应位置的元素上，行列式的值不变。</p>
<h3>数学表达式</h3>
<p>设 <em>D</em> 是一个 <em>n</em> 阶行列式，<em>a<sub>ij</sub></em> 是第 <em>i</em> 行第 <em>j</em> 列的元素。则：</p>
<ul>
<li>将第 <em>i</em> 行的每个元素乘以常数 <em>k</em> 加到第 <em>j</em> 行对应位置的元素上，行列式的值不变。</li>
<li>将第 <em>i</em> 列的每个元素乘以常数 <em>k</em> 加到第 <em>j</em> 列对应位置的元素上，行列式的值不变。</li>
</ul>
<h3>例题说明</h3>
<h4>例1：行的线性组合</h4>
<p>考虑以下 3 阶行列式 <em>D</em>：</p>
<pre>
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
</pre>
<p>我们将第 1 行的每个元素乘以 2 加到第 2 行对应位置的元素上，得到新的行列式 <em>D'</em>：</p>
<pre>
| 1 2 3 |
| 6 9 12 |
| 7 8 9 |
</pre>
<p>计算原行列式 <em>D</em> 的值：</p>
<pre>
D = 1(5*9 - 6*8) - 2(4*9 - 6*7) + 3(4*8 - 5*7)
= 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35)
= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3)
= -3 + 12 - 9
= 0
</pre>
<p>计算新行列式 <em>D'</em> 的值：</p>
<pre>
D' = 1(9*9 - 12*8) - 2(6*9 - 12*7) + 3(6*8 - 9*7)
= 1(81 - 96) - 2(54 - 84) + 3(48 - 63)
= 1(-15) - 2(-30) + 3(-15)
= -15 + 60 - 45
= 0
</pre>
<p>可以看到，<em>D = D'</em>，即行列式的值不变。</p>
<h4>例2：列的线性组合</h4>
<p>考虑以下 3 阶行列式 <em>D</em>：</p>
<pre>
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
</pre>
<p>我们将第 1 列的每个元素乘以 3 加到第 3 列对应位置的元素上，得到新的行列式 <em>D'</em>：</p>
<pre>
| 1 2 6 |
| 4 5 18 |
| 7 8 30 |
</pre>
<p>计算原行列式 <em>D</em> 的值（同上）：</p>
<pre>
D = 0
</pre>
<p>计算新行列式 <em>D'</em> 的值：</p>
<pre>
D' = 1(5*30 - 18*8) - 2(4*30 - 18*7) + 6(4*8 - 5*7)
= 1(150 - 144) - 2(120 - 126) + 6(32 - 35)
= 1(6) - 2(-6) + 6(-3)
= 6 + 12 - 18
= 0
</pre>
<p>可以看到，<em>D = D'</em>，即行列式的值不变。</p>