线性代数

<h2>行列式的性质6：若行列式中有两行或两列完全相同，则行列式为零</h2> <p><strong>性质描述：</strong> 如果一个行列式中有两行（或两列）完全相同，那么该行列式的值为零。</p> <h3>证明思路：</h3> <p>设 \( D \) 是一个 \( n \) 阶行列式，且其中第 \( i \) 行和第 \( j \) 行完全相同。根据行列式的定义，行列式的值是所有可能的排列的乘积之和，每个乘积项包含来自不同行和不同列的元素。</p> <p>由于第 \( i \) 行和第 \( j \) 行完全相同，因此在计算行列式的值时，对于任意一个排列，交换第 \( i \) 行和第 \( j \) 行的位置不会改变该排列对应的乘积项的值。然而，这种交换会改变排列的奇偶性，从而使得每一项都与其自身的相反数相加，最终结果为零。</p> <h3>例题说明：</h3> <p>考虑以下 3 阶行列式：</p> <p>\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \]</p> <p>在这个行列式中，第 1 行和第 3 行完全相同。根据性质 6，我们可以直接得出结论：</p> <p>\[ D = 0 \]</p> <h3>进一步验证：</h3> <p>为了进一步验证，我们可以使用行列式的展开公式来计算这个行列式的值：</p> <p>\[ D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \]</p> <p>分别计算各个 2 阶行列式的值：</p> <p>\[ \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 5 \cdot 3 - 6 \cdot 2 = 15 - 12 = 3 \]</p> <p>\[ \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - 6 \cdot 1 = 12 - 6 = 6 \]</p> <p>\[ \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = 8 - 5 = 3 \]</p> <p>代入原行列式的展开式中：</p> <p>\[ D = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3 = 3 - 12 + 9 = 0 \]</p> <p>因此，我们再次验证了行列式的值为零。</p>

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