行列式的性质
行列式的性质5：若行列式中有一行或一列元素全为零，则行列式为零
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<h2>行列式的性质5：若行列式中有一行或一列元素全为零，则行列式为零</h2>
<p><strong>性质描述：</strong> 如果行列式中有一行（或一列）的所有元素都为零，那么该行列式的值为零。</p>
<h3>例题说明</h3>
<h4>例1：一行全为零的行列式</h4>
<p>考虑以下3阶行列式：</p>
<pre>
| 1 2 3 |
| 0 0 0 |
| 4 5 6 |
</pre>
<p>由于第二行的所有元素均为零，根据性质5，该行列式的值为零。</p>
<h4>例2：一列全为零的行列式</h4>
<p>考虑以下3阶行列式：</p>
<pre>
| 1 0 3 |
| 4 0 6 |
| 7 0 9 |
</pre>
<p>由于第二列的所有元素均为零，根据性质5，该行列式的值为零。</p>
<h3>证明</h3>
<p>设 \( D \) 是一个 \( n \) 阶行列式，假设第 \( i \) 行的所有元素均为零。根据行列式的定义，行列式的值可以表示为：</p>
<pre>
D = ∑ (±a<sub>1j1</sub> a<sub>2j2</sub> ... a<sub>njn</sub>)
</pre>
<p>其中，求和是对所有 \( n! \) 种排列 \( (j_1, j_2, ..., j_n) \) 进行的，而符号 \( ± \) 取决于排列的奇偶性。</p>
<p>由于第 \( i \) 行的所有元素均为零，因此在每一项 \( a_{1j1} a_{2j2} ... a_{ijn} \) 中，必定包含一个因子 \( a_{ij_i} = 0 \)。因此，每一项的值均为零，从而整个行列式的值也为零。</p>
<p>同理，如果有一列元素全为零，也可以得出同样的结论。</p>