高等数学（工本）

<h2>初等函数的连续性</h2> <p>初等函数是指通过有限次加、减、乘、除以及开方运算，由基本初等函数复合而成的函数。</p> <p>初等函数在其定义域内是连续的。</p> <h3>重要性质</h3> <ul> <li>多项式函数在定义域内处处连续。</li> <li>有理函数在定义域内除了分母为0的点外，其余点都连续。</li> <li>指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数在其定义域内都是连续的。</li> <li>初等函数的复合函数在其定义域内也是连续的。</li> </ul> <h3>例题说明</h3> <p><strong>例题1：</strong>证明函数 \( f(x) = 2x^3 - 5x + 1 \) 在其定义域内是连续的。</p> <p><strong>解：</strong>这是一个多项式函数，根据初等函数的连续性性质，多项式函数在其定义域内处处连续，因此 \( f(x) = 2x^3 - 5x + 1 \) 在其定义域内是连续的。</p> <p><strong>例题2：</strong>证明函数 \( g(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) 在其定义域内是连续的。</p> <p><strong>解：</strong>这是一个有理函数，分子 \( x^2 - 4 \) 可以因式分解为 \( (x - 2)(x + 2) \)，因此 \( g(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \) 在 \( x \neq 2 \) 时简化为 \( g(x) = x + 2 \)。因为 \( x + 2 \) 是一个多项式函数，它在其定义域内处处连续，所以在 \( x \neq 2 \) 时，\( g(x) \) 是连续的。但是需要注意 \( x = 2 \) 时，原函数 \( g(x) \) 无定义，因此在 \( x = 2 \) 处不连续。</p>

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