第十一节 函数的连续性
闭区间上连续函数的性质
重要程度：9 分
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<h2>闭区间上连续函数的性质</h2>
<p>在闭区间 \([a, b]\) 上定义的连续函数具有以下重要性质：</p>
<h3>1. 有界性定理</h3>
<p>如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则它在该区间上有界。</p>
<p>即存在常数 \(M > 0\)，使得对于所有 \(x \in [a, b]\)，都有 \(-M \leq f(x) \leq M\)。</p>
<h3>2. 最值定理</h3>
<p>如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则它在该区间上一定能取到最大值和最小值。</p>
<p>即存在 \(x_1, x_2 \in [a, b]\)，使得对于所有 \(x \in [a, b]\)，都有 \(f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)\)。</p>
<h3>3. 零点定理</h3>
<p>如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，并且 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 异号（即 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)），则至少存在一个 \(c \in (a, b)\)，使得 \(f(c) = 0\)。</p>
<h3>4. 中值定理</h3>
<p>如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，则存在至少一个 \(\xi \in (a, b)\)，使得：</p>
<p>$$
f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
$$</p>
<h3>例题</h3>
<p>考虑函数 \(f(x) = x^2 - 4\) 在闭区间 \([-3, 3]\) 上的性质。</p>
<p>首先验证 \(f(x)\) 在 \([-3, 3]\) 上是否连续。由于 \(f(x)\) 是多项式函数，它在整个实数域内连续，因此在 \([-3, 3]\) 上也连续。</p>
<h4>应用有界性定理</h4>
<p>计算 \(f(x)\) 在端点的值：\(f(-3) = 5\) 和 \(f(3) = 5\)。显然，\(|f(x)| \leq 9\) 对于所有 \(x \in [-3, 3]\) 成立。</p>
<h4>应用最值定理</h4>
<p>找到 \(f(x)\) 的极值点。求导得 \(f'(x) = 2x\)，令 \(f'(x) = 0\) 得 \(x = 0\)。计算 \(f(0) = -4\)。因此，最大值为 5，最小值为 -4。</p>
<h4>应用零点定理</h4>
<p>注意到 \(f(-2) = 0\) 和 \(f(2) = 0\)。因此，在 \([-3, 3]\) 内存在两个零点。</p>
<h4>应用中值定理</h4>
<p>计算 \(\frac{f(3) - f(-3)}{3 - (-3)} = \frac{5 - 5}{6} = 0\)。根据中值定理，存在 \(\xi \in (-3, 3)\)，使得 \(f'(\xi) = 0\)。实际上，我们已经知道 \(f'(x) = 2x\)，且 \(f'(0) = 0\)，所以 \(\xi = 0\)。</p>
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