第十一节 函数的连续性
单侧连续性
重要程度：7 分
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<h2>单侧连续性</h2>
<p>函数在某点的单侧连续性是指函数在该点左侧或右侧的连续性。具体来说：</p>
<ul>
<li><strong>左连续</strong>：如果函数$f(x)$在$x=a$处的左极限等于函数值，即$\lim_{{x \to a^-}} f(x) = f(a)$，则称函数$f(x)$在$x=a$处左连续。</li>
<li><strong>右连续</strong>：如果函数$f(x)$在$x=a$处的右极限等于函数值，即$\lim_{{x \to a^+}} f(x) = f(a)$，则称函数$f(x)$在$x=a$处右连续。</li>
</ul>
<p>如果函数在某点既左连续又右连续，则称该函数在该点连续。</p>
<h3>例题1：判断函数的单侧连续性</h3>
<p>考虑函数$f(x)=\begin{cases}
x^2 & x < 1 \\
2 & x = 1 \\
x & x > 1
\end{cases}$ 在$x=1$处的单侧连续性。</p>
<p>解：计算左右极限：</p>
<ul>
<li>$\lim_{{x \to 1^-}} f(x) = \lim_{{x \to 1^-}} x^2 = 1$</li>
<li>$\lim_{{x \to 1^+}} f(x) = \lim_{{x \to 1^+}} x = 1$</li>
<li>$f(1) = 2$</li>
</ul>
<p>因为$\lim_{{x \to 1^-}} f(x) \neq f(1)$，所以函数在$x=1$处左连续但不右连续；因为$\lim_{{x \to 1^+}} f(x) = f(1)$，所以函数在$x=1$处右连续。</p>
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