第十一节 函数的连续性
函数在一点处连续的三个条件
重要程度：9 分
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<h2>函数在一点处连续的三个条件</h2>
<p>设函数$f(x)$在点$x_0$处有定义，则函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充分必要条件是：</p>
<ol>
<li>
<strong>$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$ 存在</strong>
<p>即函数$f(x)$在$x \to x_0$时的极限存在。</p>
</li>
<li>
<strong>$f(x_0) = A$</strong>
<p>即函数$f(x)$在点$x_0$处的函数值等于该点处的极限值。</p>
</li>
<li>
<strong>$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$</strong>
<p>即函数$f(x)$在$x \to x_0$时的极限值等于该点处的函数值。</p>
</li>
</ol>
<h3>例题说明</h3>
<p>考虑函数$f(x) = x^2$，判断其在$x=1$处是否连续。</p>
<ol>
<li>
$\lim\limits_{x \to 1} x^2 = 1^2 = 1$
</li>
<li>
$f(1) = 1^2 = 1$
</li>
<li>
$\lim\limits_{x \to 1} x^2 = 1 = f(1)$
</li>
</ol>
<p>由于以上三个条件都满足，所以函数$f(x) = x^2$在$x=1$处连续。</p>
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