第九节 极限存在准则 两个重要极限
第一个重要极限 sin(x)/x 在 x 趋近于 0 时的极限为 1
重要程度：9 分
<h2>第一个重要极限：sin(x)/x 当 x 趋近于 0 时的极限为 1</h2>
<p>这个极限在数学分析中非常重要，它不仅用于计算其他复杂函数的极限，还在微积分中有广泛应用。</p>
<h3>定理表述</h3>
<p>当 \( x \) 趋近于 0 时，\(\frac{\sin(x)}{x}\) 的极限为 1。</p>
<h3>直观理解</h3>
<p>想象一个单位圆，当角度 \( x \) 很小时，\( \sin(x) \) 可以近似为 \( x \)，因此 \( \frac{\sin(x)}{x} \) 接近于 1。</p>
<h3>例题说明</h3>
<p>考虑求解 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(3x)}{x}\)。</p>
<ol>
<li>首先将 \( x \) 替换为 \( 3x \)，得到 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot 3\)。</li>
<li>根据重要极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1\)，所以原式变为 \(1 \cdot 3 = 3\)。</li>
</ol>
<h3>证明思路</h3>
<p>为了证明 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)，可以使用夹逼定理（Squeeze Theorem）。</p>
<ol>
<li>考虑单位圆上一个小扇形，其角度为 \( x \)。</li>
<li>利用几何关系可以得到 \(\cos(x) \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq 1\)。</li>
<li>当 \( x \) 趋近于 0 时，\(\cos(x)\) 趋近于 1。</li>
<li>由夹逼定理，\(\frac{\sin(x)}{x}\) 的极限为 1。</li>
</ol>