高等数学（工本）

<div> <h2>极限存在的两个准则</h2> <p><strong>准则1：夹逼定理（也称两边夹定理）</strong></p> <p>如果当x趋向于a时，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且\(\lim_{{x \to a}} g(x) = \lim_{{x \to a}} h(x) = L\)，那么\(\lim_{{x \to a}} f(x) = L\)。</p> <p><strong>例题1：</strong>证明\(\lim_{{x \to 0}} x^2 \sin{\frac{1}{x}} = 0\)。</p> <p>解：我们知道，对于所有x ≠ 0，\(-1 \leq \sin{\frac{1}{x}} \leq 1\)。因此，我们可以构造不等式\( -x^2 \leq x^2 \sin{\frac{1}{x}} \leq x^2\)。由于\(\lim_{{x \to 0}} -x^2 = \lim_{{x \to 0}} x^2 = 0\)，根据夹逼定理，我们得出\(\lim_{{x \to 0}} x^2 \sin{\frac{1}{x}} = 0\)。</p> <p><strong>准则2：单调有界定理</strong></p> <p>如果数列\(\{a_n\}\)单调递增并且有上界，或单调递减并且有下界，那么这个数列必有极限。</p> <p><strong>例题2：</strong>证明数列\(\{a_n\} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\)收敛。</p> <p>解：首先，我们证明数列\(\{a_n\}\)是单调递增的。考虑相邻两项的比值\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}\)。通过计算和分析，可以证明这个比值大于1，表明数列是递增的。</p> <p>其次，我们证明数列是有界的。利用二项式展开，我们可以看到每一项都是正的，并且每一项都小于等于2。因此，数列是有界的。</p> <p>由单调有界定理，数列\(\{a_n\}\)必有极限。</p> </div>

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