高等数学（工本）

<div> <h2>两个重要极限</h2> <p><strong>1. 第一个重要极限：</strong></p> <p>\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]</p> <p>这个极限告诉我们当x趋近于0时，\(\sin x\)与\(x\)之间的比值趋近于1。</p> <p><strong>例题1：</strong> 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}\)</p> <p>解：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}\right) = 3 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 3 \cdot 1 = 3\]</p> <p><strong>2. 第二个重要极限：</strong></p> <p>\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\]</p> <p>这里 \(e\) 是自然对数的底数，大约等于 2.71828。这个极限表示当 \(x\) 趋近于无穷大时，\(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\) 的值趋近于 \(e\)。</p> <p><strong>例题2：</strong> 计算 \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{3x}\)</p> <p>解：\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{\frac{3}{2}} = \left[\lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y\right]^{\frac{3}{2}} = e^{\frac{3}{2}}\]</p> </div>

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