高等数学（工本）

<div> <h2>极限运算法则</h2> <p>在研究函数的极限时，我们经常需要对极限进行运算，比如加减乘除等。为了方便理解和计算，我们可以利用一些基本的极限运算法则。</p> <ul> <li><strong>法则1：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。</strong></li> <p>例如：<br> 设 \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0\) 和 \(\lim\limits_{x \to 0} g(x) = 0\)，那么有<br> \[\lim\limits_{x \to 0} [f(x) + g(x)] = 0\] </p> <li><strong>法则2：有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。</strong></li> <p>例如：<br> 设 \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0\) 和 \(\lim\limits_{x \to 0} g(x) = 0\)，那么有<br> \[\lim\limits_{x \to 0} [f(x) \cdot g(x)] = 0\] </p> <li><strong>法则3：有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。</strong></li> <p>例如：<br> 设 \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0\)，且 \(g(x)\) 在 \(x \to 0\) 附近有界，即存在常数 \(M > 0\) 使得 \(|g(x)| \leq M\)，那么有<br> \[\lim\limits_{x \to 0} [f(x) \cdot g(x)] = 0\] </p> <li><strong>法则4：两个无穷小量的商不一定为无穷小量，但如果分母的极限不为零，则其商仍为无穷小量。</strong></li> <p>例如：<br> 设 \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0\) 和 \(\lim\limits_{x \to 0} g(x) = 0\)，且 \(\lim\limits_{x \to 0} h(x) = c \neq 0\)，那么有<br> \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{h(x)} = 0\] </p> <li><strong>法则5：若 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = A\) 且 \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = B\)，则有：</strong></li> <ul> <li>\(\lim\limits_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B\)</li> <li>\(\lim\limits_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B\)</li> <li>\(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\)，其中 \(B \neq 0\)</li> </ul> </ul> </div>

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