高等数学（工本）

<div> <h2>无穷小的比较</h2> <p>在函数的极限中，无穷小是一个重要的概念。两个无穷小的比较可以帮助我们更好地理解它们之间的关系。</p> <ul> <li><strong>定义：</strong>设α和β是同一过程中的两个无穷小量，如果它们的比值的极限存在，则称这两个无穷小的比较。</li> <li><strong>常见的比较结果：</strong> <ul> <li>若 \(\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha}{\beta} = 0\)，则称α是β的高阶无穷小，记作 \(\alpha=o(\beta)\)。</li> <li>若 \(\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha}{\beta} = c\)，其中 \(c\) 是一个非零常数，则称α和β是同阶无穷小。</li> <li>若 \(\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha}{\beta} = 1\)，则称α和β是等价无穷小，记作 \(\alpha \sim \beta\)。</li> </ul> </li> </ul> <h3>举例说明</h3> <p>考虑两个无穷小量：\(\alpha = x^2\) 和 \(\beta = x\)，当 \(x \to 0\) 时，我们可以计算它们的比值的极限：</p> <p>\[\lim\limits_{x \to 0} \frac{\alpha}{\beta} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim\limits_{x \to 0} x = 0\]</p> <p>因此，\(x^2\) 是 \(x\) 的高阶无穷小，即 \(x^2 = o(x)\)。</p> </div>

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