第六节 函数的极限
无穷小量与无穷大量
重要程度：7 分
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<h2>无穷小量</h2>
<p>无穷小量是指在某一过程中，变量的极限为0的量。</p>
<p>例如，当$x$趋向于0时，$\lim\limits_{x \to 0} x = 0$，因此$x$是一个无穷小量。</p>
<h3>无穷小量的性质</h3>
<ul>
<li>有限个无穷小量之和仍然是无穷小量。</li>
<li>有限个无穷小量之积仍然是无穷小量。</li>
<li>常数与无穷小量之积仍然是无穷小量。</li>
</ul>
<h3>无穷小量的比较</h3>
<p>设$\alpha(x)$和$\beta(x)$是两个无穷小量，则：</p>
<ul>
<li>若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$，则称$\alpha(x)$是比$\beta(x)$高阶的无穷小量。</li>
<li>若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c \neq 0$，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶的无穷小量。</li>
<li>若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价的无穷小量。</li>
</ul>
<h4>例题</h4>
<p>求$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$。</p>
<p>解：因为$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1$，所以$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3$。</p>
<h2>无穷大量</h2>
<p>无穷大量是指在某一过程中，变量的绝对值无限增大的量。</p>
<p>例如，当$x$趋向于正无穷大时，$\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$，因此$x$是一个无穷大量。</p>
<h3>无穷大量的性质</h3>
<ul>
<li>有限个无穷大量的和仍然是无穷大量。</li>
<li>有限个无穷大量的积仍然是无穷大量。</li>
<li>无穷大量与非零常数之积仍然是无穷大量。</li>
</ul>
<h3>无穷大量与无穷小量的关系</h3>
<p>设$f(x)$是无穷大量，则$\frac{1}{f(x)}$是无穷小量。</p>
<p>反之，设$\alpha(x)$是无穷小量且$\alpha(x) \neq 0$，则$\frac{1}{\alpha(x)}$是无穷大量。</p>
<h4>例题</h4>
<p>求$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$。</p>
<p>解：$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = 1$。</p>
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