高等数学（工本）

<div> <h2>函数极限的性质</h2> <p>函数极限的性质主要包括唯一性、局部有界性和局部保号性。</p> <h3>1. 唯一性</h3> <p>如果 \(\lim_{{x \to x_0}} f(x) = A\) 存在，则 \(A\) 是唯一的。</p> <p><strong>举例：</strong>考虑函数 \(f(x) = x^2\) 在 \(x \to 2\) 时的极限。</p> <p>\(\lim_{{x \to 2}} x^2 = 4\)，因此极限是唯一的。</p> <h3>2. 局部有界性</h3> <p>如果 \(\lim_{{x \to x_0}} f(x) = A\) 存在，则存在一个 \(\delta > 0\) 使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，\(f(x)\) 有界。</p> <p><strong>举例：</strong>考虑函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(x \to 1\) 时的极限。</p> <p>\(\lim_{{x \to 1}} \frac{1}{x} = 1\)，则存在 \(\delta > 0\) 使得当 \(0 < |x - 1| < \delta\) 时，\(\frac{1}{x}\) 有界。</p> <h3>3. 局部保号性</h3> <p>如果 \(\lim_{{x \to x_0}} f(x) = A\) 且 \(A > 0\)（或 \(A < 0\)），则存在一个 \(\delta > 0\) 使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，\(f(x) > 0\)（或 \(f(x) < 0\)）。</p> <p><strong>举例：</strong>考虑函数 \(f(x) = x^2\) 在 \(x \to 2\) 时的极限。</p> <p>\(\lim_{{x \to 2}} x^2 = 4\)，则存在 \(\delta > 0\) 使得当 \(0 < |x - 2| < \delta\) 时，\(x^2 > 0\)。</p> </div>

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