高等数学（工本）

<div> <h2>函数极限的定义</h2> <p>函数极限描述了当自变量趋近于某一点时，函数值的变化趋势。</p> <h3>左侧极限</h3> <p>设函数$f(x)$在$x=a$的某个左邻域内有定义（不含$x=a$点），若存在常数$A$，使得对任意给定的$\epsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，当$a - \delta < x < a$时，总有$|f(x) - A| < \epsilon$，则称$A$为函数$f(x)$当$x$从左侧趋于$a$时的极限，记作：</p> <p>\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = A \]</p> <h3>右侧极限</h3> <p>设函数$f(x)$在$x=a$的某个右邻域内有定义（不含$x=a$点），若存在常数$A$，使得对任意给定的$\epsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，当$a < x < a + \delta$时，总有$|f(x) - A| < \epsilon$，则称$A$为函数$f(x)$当$x$从右侧趋于$a$时的极限，记作：</p> <p>\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = A \]</p> <h3>双侧极限</h3> <p>若函数$f(x)$在$x=a$的某邻域内（不含$x=a$点）有定义，且$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = A$，则称$A$为函数$f(x)$当$x$趋于$a$时的极限，记作：</p> <p>\[ \lim_{x \to a} f(x) = A \]</p> <h3>举例说明</h3> <p>考虑函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，求$\lim_{x \to 1} f(x)$。</p> <p>首先简化函数表达式：</p> <p>\[ f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \quad (x \neq 1) \]</p> <p>因此，当$x \to 1$时，函数$f(x)$的极限为：</p> <p>\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \]</p> <p>所以，$\lim_{x \to 1} f(x) = 2$。</p> </div>

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