第五节 数列的极限
数列收敛的判别法
重要程度：10 分
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<h2>数列收敛的判别法</h2>
<p>在讨论数列的极限时，我们经常需要判断一个数列是否收敛。以下是几种常用的判别法：</p>
<h3>1. 定义法</h3>
<p>若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(\lim_{n \to \infty} a_n = L\)，则称数列 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(L\)。</p>
<h4>例题:</h4>
<p>判断数列 \(\{a_n\} = \frac{1}{n}\) 是否收敛。</p>
<p>解: 由定义知，\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)，所以数列 \(\{a_n\}\) 收敛于 0。</p>
<h3>2. 夹逼定理</h3>
<p>若存在数列 \(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)，\(\{c_n\}\)，满足 \(a_n \leq b_n \leq c_n\) 对所有 \(n\) 成立，并且 \(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L\)，则 \(\lim_{n \to \infty} b_n = L\)。</p>
<h4>例题:</h4>
<p>判断数列 \(\{b_n\} = \frac{\sin n}{n}\) 是否收敛。</p>
<p>解: 由于 \(-1 \leq \sin n \leq 1\)，则 \(-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}\)。又因为 \(\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)，由夹逼定理可知 \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0\)，所以数列 \(\{b_n\}\) 收敛于 0。</p>
<h3>3. 单调有界定理</h3>
<p>若数列 \(\{a_n\}\) 单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则 \(\{a_n\}\) 必收敛。</p>
<h4>例题:</h4>
<p>判断数列 \(\{c_n\} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\) 是否收敛。</p>
<p>解: 数列 \(\{c_n\}\) 是单调递增的，且每个部分项都小于等于 2（即有上界）。因此，由单调有界定理知，数列 \(\{c_n\}\) 收敛。</p>
<h3>4. 比值判别法</h3>
<p>设 \(\{a_n\}\) 为正项数列，若 \(\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = q\)，则当 \(q < 1\) 时，数列 \(\{a_n\}\) 收敛；当 \(q > 1\) 时，数列 \(\{a_n\}\) 发散。</p>
<h4>例题:</h4>
<p>判断数列 \(\{d_n\} = \frac{n!}{3^n}\) 是否收敛。</p>
<p>解: 计算比值 \(\left|\frac{d_{n+1}}{d_n}\right| = \left|\frac{(n+1)!/3^{n+1}}{n!/3^n}\right| = \frac{n+1}{3}\)。当 \(n \to \infty\) 时，\(\frac{n+1}{3} \to \infty\)，因此 \(q > 1\)，故数列 \(\{d_n\}\) 发散。</p>
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