第五节 数列的极限
单调有界定理
重要程度：8 分
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<h2>单调有界定理</h2>
<p>单调有界定理是数列极限理论中的一个重要定理。它指出：若一个数列是单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列一定存在极限。</p>
<p>这个定理可以分为两个部分：</p>
<ul>
<li>若数列 \(\{a_n\}\) 是单调递增的，并且存在一个上界 \(M\)，即对于所有的 \(n\)，都有 \(a_n \leq M\)，则数列 \(\{a_n\}\) 必有极限。</li>
<li>若数列 \(\{a_n\}\) 是单调递减的，并且存在一个下界 \(m\)，即对于所有的 \(n\)，都有 \(a_n \geq m\)，则数列 \(\{a_n\}\) 必有极限。</li>
</ul>
<h3>例题</h3>
<p>考虑数列 \(\{a_n\}\)，其中 \(a_1 = 1\)，并且对于所有的 \(n \geq 1\)，有 \(a_{n+1} = \sqrt{a_n + 6}\)。</p>
<p>首先验证数列的单调性：</p>
<p>假设 \(a_n \leq a_{n+1}\)，我们需要证明 \(a_{n+1} \leq a_{n+2}\)。</p>
<p>由于 \(a_{n+1} = \sqrt{a_n + 6}\)，则 \(a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1} + 6}\)。</p>
<p>因为 \(a_{n+1} = \sqrt{a_n + 6} \geq \sqrt{a_{n-1} + 6} = a_n\)，所以 \(a_{n+1} \leq a_{n+2}\) 成立。</p>
<p>因此，数列 \(\{a_n\}\) 是单调递增的。</p>
<p>接下来验证数列是否有上界：</p>
<p>假设数列的极限为 \(L\)，则有 \(L = \sqrt{L + 6}\)。</p>
<p>解方程 \(L^2 = L + 6\) 得到 \(L^2 - L - 6 = 0\)，解得 \(L = 3\) 或 \(L = -2\)。</p>
<p>由于数列中的所有项都是正数，所以 \(L = 3\)。</p>
<p>因此，数列 \(\{a_n\}\) 有一个上界 \(L = 3\)。</p>
<p>根据单调有界定理，数列 \(\{a_n\}\) 存在极限。</p>
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