第五节 数列的极限
数列极限的四则运算法则
重要程度：7 分
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<h2>数列极限的四则运算法则</h2>
<p>数列极限的四则运算法则是指在一定条件下，两个数列的极限可以通过加、减、乘、除四种基本运算来处理。</p>
<ul>
<li><strong>加法法则：</strong>若数列 \(\{a_n\}\) 的极限为 \(A\)，数列 \(\{b_n\}\) 的极限为 \(B\)，则数列 \(\{a_n + b_n\}\) 的极限为 \(A + B\)。</li>
<li><strong>减法法则：</strong>若数列 \(\{a_n\}\) 的极限为 \(A\)，数列 \(\{b_n\}\) 的极限为 \(B\)，则数列 \(\{a_n - b_n\}\) 的极限为 \(A - B\)。</li>
<li><strong>乘法法则：</strong>若数列 \(\{a_n\}\) 的极限为 \(A\)，数列 \(\{b_n\}\) 的极限为 \(B\)，则数列 \(\{a_n \cdot b_n\}\) 的极限为 \(A \cdot B\)。</li>
<li><strong>除法法则：</strong>若数列 \(\{a_n\}\) 的极限为 \(A\)，数列 \(\{b_n\}\) 的极限为 \(B\)，且 \(B \neq 0\)，则数列 \(\{\frac{a_n}{b_n}\}\) 的极限为 \(\frac{A}{B}\)。</li>
</ul>
<h3>例题说明</h3>
<p>假设数列 \(\{a_n\} = \left\{\frac{1}{n}\right\}\)，其极限为 \(0\)；数列 \(\{b_n\} = \left\{\frac{2}{n}\right\}\)，其极限为 \(0\)。</p>
<h4>加法法则应用</h4>
<p>数列 \(\{a_n + b_n\} = \left\{\frac{1}{n} + \frac{2}{n}\right\} = \left\{\frac{3}{n}\right\}\)。</p>
<p>根据加法法则，\(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} + \frac{2}{n}\right) = 0 + 0 = 0\)。</p>
<h4>减法法则应用</h4>
<p>数列 \(\{a_n - b_n\} = \left\{\frac{1}{n} - \frac{2}{n}\right\} = \left\{-\frac{1}{n}\right\}\)。</p>
<p>根据减法法则，\(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{2}{n}\right) = 0 - 0 = 0\)。</p>
<h4>乘法法则应用</h4>
<p>数列 \(\{a_n \cdot b_n\} = \left\{\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n}\right\} = \left\{\frac{2}{n^2}\right\}\)。</p>
<p>根据乘法法则，\(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n}\right) = 0 \cdot 0 = 0\)。</p>
<h4>除法法则应用</h4>
<p>数列 \(\{\frac{a_n}{b_n}\} = \left\{\frac{\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}\right\} = \left\{\frac{1}{2}\right\}\)。</p>
<p>根据除法法则，\(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}\right) = \frac{0}{0} = \frac{1}{2}\)。</p>
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