第五节 数列的极限
收敛数列的性质
重要程度：9 分
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<h2>收敛数列的性质</h2>
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<strong>唯一性：</strong>
如果数列$\{a_n\}$收敛于$a$，那么它的极限是唯一的。
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<em>例题说明：</em>
考虑数列$\{a_n\} = \frac{1}{n}$，我们知道当$n \to \infty$时，$a_n \to 0$。假设这个数列还收敛到另一个值$b$，那么根据唯一性定理，$b$必须等于$0$。
</li>
<li>
<strong>有界性：</strong>
收敛数列一定是有界的，即存在一个正数$M$使得对于所有的$n$，都有$|a_n| \leq M$。
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<em>例题说明：</em>
对于数列$\{a_n\} = \frac{1}{n}$，我们可以取$M=1$，因为对于所有的$n$，都有$|\frac{1}{n}| \leq 1$。
</li>
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<strong>保号性：</strong>
若数列$\{a_n\}$收敛于$a$，且$a > 0$（或$a < 0$），则存在正整数$N$，当$n > N$时，有$a_n > 0$（或$a_n < 0$）。
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<em>例题说明：</em>
对于数列$\{a_n\} = \frac{1}{n}$，我们知道当$n \to \infty$时，$a_n \to 0$，且$a_n > 0$。因此，存在一个正整数$N$，当$n > N$时，$a_n > 0$。
</li>
<li>
<strong>迫敛性：</strong>
如果数列$\{a_n\}$、$\{b_n\}$和$\{c_n\}$满足：
$$a_n \leq b_n \leq c_n$$
且$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$，那么$\lim_{n \to \infty} b_n = L$。
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<em>例题说明：</em>
设数列$\{a_n\} = \frac{-1}{n}$，$\{b_n\} = 0$，$\{c_n\} = \frac{1}{n}$。显然有$a_n \leq b_n \leq c_n$。由于$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = 0$，所以$\lim_{n \to \infty} b_n = 0$。
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