高等数学（工本）

<div> <h2>数列极限的定义</h2> <p>数列极限是指当数列的项数无限增大时，数列的值趋近于某个确定的值。用数学语言描述就是：</p> <p>设\(\{a_n\}\)是一个数列，若存在实数\(A\)，使得对于任意给定的正数\(\varepsilon > 0\)，总存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，都有\(|a_n - A| < \varepsilon\)，则称数列\(\{a_n\}\)的极限为\(A\)，记作\(\lim_{{n \to \infty}} a_n = A\)。</p> <h3>举例说明</h3> <p>例如，考虑数列\(\{a_n\} = \left\{\frac{1}{n}\right\}\)。</p> <p>我们要证明\(\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0\)。</p> <p>根据定义，我们需要找到一个正整数\(N\)，使得当\(n > N\)时，都有\(\left|\frac{1}{n} - 0\right| < \varepsilon\)。</p> <p>即\(\frac{1}{n} < \varepsilon\)。</p> <p>解这个不等式得到\(n > \frac{1}{\varepsilon}\)。</p> <p>因此，取\(N\)为大于\(\frac{1}{\varepsilon}\)的任意正整数，那么当\(n > N\)时，都有\(\left|\frac{1}{n} - 0\right| < \varepsilon\)成立。</p> <p>这表明\(\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0\)。</p> </div>

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