第四节 初等函数
复合函数的概念及构成
重要程度：7 分
<h2>复合函数的概念及构成</h2>
<p>复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。设有一个函数 \( y = f(u) \)，另一个函数 \( u = g(x) \)，若 \( u = g(x) \) 的值域是 \( f(u) \) 的定义域的一部分，则称函数 \( y = f(g(x)) \) 为由函数 \( y = f(u) \) 和 \( u = g(x) \) 构成的复合函数。</p>
<h3>构成条件：</h3>
<ul>
<li>内层函数 \( u = g(x) \) 的值域要包含在外层函数 \( y = f(u) \) 的定义域内。</li>
<li>内层函数 \( u = g(x) \) 的输出作为外层函数 \( y = f(u) \) 的输入。</li>
</ul>
<h3>例题说明：</h3>
<p>假设我们有两个函数：</p>
\[ f(u) = u^2 + 1 \]
\[ g(x) = x + 3 \]
<p>根据上述定义，我们可以构建一个新的复合函数 \( y = f(g(x)) \)。</p>
\[ y = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2 + 1 \]
<p>接下来，我们可以进一步展开计算：</p>
\[ y = (x + 3)^2 + 1 = x^2 + 6x + 9 + 1 = x^2 + 6x + 10 \]
<p>所以，复合函数 \( y = f(g(x)) \) 就是 \( y = x^2 + 6x + 10 \)。</p>