第二节 函数的性质
函数的单调性
重要程度：9 分
<div>
<h2>函数的单调性</h2>
<p>函数的单调性描述了函数在某个区间内的增减趋势。</p>
<ul>
<li><strong>定义：</strong>设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任意$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) \leq f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上是单调递增的；若都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上是严格单调递增的。</li>
<li><strong>定义：</strong>设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任意$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) \geq f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上是单调递减的；若都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上是严格单调递减的。</li>
</ul>
<h3>例题</h3>
<p>判断函数$f(x)=x^2$在区间$(-\infty, 0]$上的单调性。</p>
<ol>
<li>取任意两个数$x_1, x_2 \in (-\infty, 0]$，且$x_1 < x_2$。</li>
<li>计算$f(x_1)$和$f(x_2)$的值：
<p>$f(x_1) = x_1^2$</p>
<p>$f(x_2) = x_2^2$</p>
</li>
<li>由于$x_1 < x_2$，并且都在负半轴上，所以$x_1^2 > x_2^2$。</li>
<li>因此，$f(x_1) > f(x_2)$，所以$f(x)=x^2$在区间$(-\infty, 0]$上是严格单调递减的。</li>
</ol>
</div>