第二节 函数的性质
函数的有界性
重要程度：8 分
<div>
<h2>函数的有界性</h2>
<p>函数的有界性是指在定义域内，函数的值始终不超过某个上界或不低于某个下界。</p>
<ul>
<li><strong>有界函数：</strong> 如果存在正数M，使得对定义域内的任意x，都有$|f(x)| \leq M$，则称函数$f(x)$在定义域内有界。</li>
<li><strong>无界函数：</strong> 若不存在这样的正数M，则称函数$f(x)$在定义域内无界。</li>
</ul>
<h3>举例说明</h3>
<p>考虑函数$f(x) = \sin(x)$，我们知道$\sin(x)$的取值范围是$[-1, 1]$，因此对所有的$x$，都有$|\sin(x)| \leq 1$。</p>
<p>所以，我们可以得出结论：函数$f(x) = \sin(x)$是有界的。</p>
<h3>例题及证明</h3>
<p>判断函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$是否在实数集$\mathbb{R}$上有界。</p>
<p>证明：对于任意的$x \in \mathbb{R}$，我们有$x^2 \geq 0$，因此$1 + x^2 \geq 1$。由此可得：
$$\frac{1}{1+x^2} \leq 1$$
另一方面，由于$x^2 \geq 0$，所以$1 + x^2 > 0$，因此$\frac{1}{1+x^2} > 0$。</p>
<p>综上所述，对于所有的$x \in \mathbb{R}$，都有$0 < \frac{1}{1+x^2} \leq 1$。</p>
<p>因此，函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$在实数集$\mathbb{R}$上有界。</p>
</div>