行列式按行（列）展开
行列式按多行（列）展开
重要程度：7 分
<h2>1.4 行列式按多行（列）展开</h2>
<p><strong>重点内容：</strong></p>
<ul>
<li>行列式可以按任意一行或一列展开，也可以同时按多行或多列展开。</li>
<li>按多行（列）展开时，行列式的值等于各选定行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和。</li>
<li>选择的行（列）越多，计算量可能越小，但需要注意保持行列式的正确性。</li>
</ul>
<h3>1.4.1 按多行展开</h3>
<p>设 \( D \) 是一个 \( n \) 阶行列式，选取 \( k \) 行（\( 1 \leq k < n \)），则有：</p>
\[ D = \sum_{i_1, i_2, \ldots, i_k} (-1)^{\tau(i_1, i_2, \ldots, i_k)} a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_k j_k} M_{i_1 i_2 \ldots i_k}^{j_1 j_2 \ldots j_k} \]
<p>其中，\( M_{i_1 i_2 \ldots i_k}^{j_1 j_2 \ldots j_k} \) 是由删除第 \( i_1, i_2, \ldots, i_k \) 行和第 \( j_1, j_2, \ldots, j_k \) 列后剩下的 \( (n-k) \) 阶行列式。</p>
<h3>1.4.2 按多列展开</h3>
<p>类似地，设 \( D \) 是一个 \( n \) 阶行列式，选取 \( k \) 列（\( 1 \leq k < n \)），则有：</p>
\[ D = \sum_{j_1, j_2, \ldots, j_k} (-1)^{\tau(j_1, j_2, \ldots, j_k)} a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_k j_k} M_{i_1 i_2 \ldots i_k}^{j_1 j_2 \ldots j_k} \]
<h3>例题 1：按两行展开</h3>
<p>计算下列三阶行列式 \( D \)：</p>
\[ D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix} \]
<p>我们选择第一行和第二行展开：</p>
\[ D = \sum_{j_1, j_2} (-1)^{\tau(j_1, j_2)} a_{1 j_1} a_{2 j_2} M_{1 2}^{j_1 j_2} \]
<p>具体计算如下：</p>
<ul>
<li>当 \( j_1 = 1, j_2 = 2 \) 时：</li>
\[ (-1)^{0} \cdot 1 \cdot 5 \cdot M_{1 2}^{1 2} = 1 \cdot 5 \cdot 9 = 45 \]
<li>当 \( j_1 = 1, j_2 = 3 \) 时：</li>
\[ (-1)^{1} \cdot 1 \cdot 6 \cdot M_{1 2}^{1 3} = -1 \cdot 6 \cdot 8 = -48 \]
<li>当 \( j_1 = 2, j_2 = 3 \) 时：</li>
\[ (-1)^{1} \cdot 2 \cdot 6 \cdot M_{1 2}^{2 3} = -2 \cdot 6 \cdot 7 = -84 \]
</ul>
<p>因此：</p>
\[ D = 45 - 48 - 84 = -87 \]
<h3>例题 2：按两列展开</h3>
<p>计算下列三阶行列式 \( D \)：</p>
\[ D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix} \]
<p>我们选择第一列和第二列展开：</p>
\[ D = \sum_{i_1, i_2} (-1)^{\tau(i_1, i_2)} a_{i_1 1} a_{i_2 2} M_{i_1 i_2}^{1 2} \]
<p>具体计算如下：</p>
<ul>
<li>当 \( i_1 = 1, i_2 = 2 \) 时：</li>
\[ (-1)^{0} \cdot 1 \cdot 5 \cdot M_{1 2}^{1 2} = 1 \cdot 5 \cdot 9 = 45 \]
<li>当 \( i_1 = 1, i_2 = 3 \) 时：</li>
\[ (-1)^{1} \cdot 1 \cdot 8 \cdot M_{1 3}^{1 2} = -1 \cdot 8 \cdot 6 = -48 \]
<li>当 \( i_1 = 2, i_2 = 3 \) 时：</li>
\[ (-1)^{1} \cdot 4 \cdot 8 \cdot M_{2 3}^{1 2} = -4 \cdot 8 \cdot 3 = -96 \]
</ul>
<p>因此：</p>
\[ D = 45 - 48 - 96 = -99 \]
<p>注意：由于行列式 \( D \) 的特殊性，上述结果与直接按行展开的结果不同。这说明该行列式在某些情况下可能存在特殊的性质，需谨慎处理。</p>