行列式按行（列）展开
行列式按一行（列）展开定理
重要程度：9 分
<h2>行列式按行（列）展开定理</h2>
<p><strong>定义：</strong> 设 \( A = (a_{ij}) \) 是一个 \( n \) 阶行列式，\( A_{ij} \) 是元素 \( a_{ij} \) 的代数余子式，则行列式 \( D \) 可以按第 \( i \) 行展开为：</p>
<p>\[ D = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij} \]</p>
<p>同样，行列式 \( D \) 也可以按第 \( j \) 列展开为：</p>
<p>\[ D = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij} \]</p>
<h3>重点内容：</h3>
<ul>
<li>行列式的值可以通过选择任意一行或一列进行展开计算。</li>
<li>每个元素的代数余子式 \( A_{ij} \) 是去掉该元素所在行和列后形成的 \( (n-1) \) 阶行列式的值，并乘以 \( (-1)^{i+j} \)。</li>
<li>选择零元素较多的行或列进行展开可以简化计算。</li>
</ul>
<h3>例题说明：</h3>
<p><strong>例题 1：</strong> 计算以下 3 阶行列式 \( D \)：</p>
<p>\[ D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix} \]</p>
<p><strong>解法：</strong> 我们选择按第一行展开：</p>
<p>\[ D = 1 \cdot A_{11} + 2 \cdot A_{12} + 3 \cdot A_{13} \]</p>
<p>计算各代数余子式：</p>
<ul>
<li>\( A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 \)</li>
<li>\( A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = - (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = - (36 - 42) = 6 \)</li>
<li>\( A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3 \)</li>
</ul>
<p>将代数余子式代入展开式：</p>
<p>\[ D = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0 \]</p>
<p>因此，行列式 \( D \) 的值为 0。</p>
<h3>例题 2：</h3>
<p><strong>例题 2：</strong> 计算以下 4 阶行列式 \( D \)：</p>
<p>\[ D = \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 5 & 6 & 7 \\
0 & 8 & 9 & 10
\end{vmatrix} \]</p>
<p><strong>解法：</strong> 由于第一列有三个零元素，我们选择按第一列展开：</p>
<p>\[ D = 1 \cdot A_{11} + 0 \cdot A_{21} + 0 \cdot A_{31} + 0 \cdot A_{41} = 1 \cdot A_{11} \]</p>
<p>计算 \( A_{11} \)：</p>
<p>\[ A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix}
2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 \\
8 & 9 & 10
\end{vmatrix} \]</p>
<p>按第一行展开 \( A_{11} \)：</p>
<p>\[ A_{11} = 2 \cdot A_{11,1} + 3 \cdot A_{11,2} + 4 \cdot A_{11,3} \]</p>
<p>计算各代数余子式：</p>
<ul>
<li>\( A_{11,1} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 6 & 7 \\ 9 & 10 \end{vmatrix} = 6 \cdot 10 - 7 \cdot 9 = 60 - 63 = -3 \)</li>
<li>\( A_{11,2} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 8 & 10 \end{vmatrix} = - (5 \cdot 10 - 7 \cdot 8) = - (50 - 56) = 6 \)</li>
<li>\( A_{11,3} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 \)</li>
</ul>
<p>将代数余子式代入展开式：</p>
<p>\[ A_{11} = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 6 + 4 \cdot (-3) = -6 + 18 - 12 = 0 \]</p>
<p>因此，行列式 \( D \) 的值为 0。</p>