行列式按行（列）展开
拉普拉斯展开定理
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<h2>1.3 行列式按行（列）展开 - 拉普拉斯展开定理</h2>
<h3>1.3.1 定理内容</h3>
<p>设 <span>A</span> 是一个 <span>n</span> 阶行列式，<span>a_{ij}</span> 是 <span>A</span> 的元素，<span>A_{ij}</span> 是 <span>a_{ij}</span> 的代数余子式，则有：</p>
<ul>
<li><strong>按行展开：</strong> <span>\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij}</span> （对任意固定行 <span>i</span>）</li>
<li><strong>按列展开：</strong> <span>\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}</span> （对任意固定列 <span>j</span>）</li>
</ul>
<h3>1.3.2 代数余子式的定义</h3>
<p>对于 <span>n</span> 阶行列式 <span>A</span> 中的元素 <span>a_{ij}</span>，其代数余子式 <span>A_{ij}</span> 定义为：</p>
<ul>
<li><span>A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}</span></li>
</ul>
<p>其中 <span>M_{ij}</span> 是去掉第 <span>i</span> 行和第 <span>j</span> 列后形成的 <span>(n-1)</span> 阶行列式的值。</p>
<h3>1.3.3 例题说明</h3>
<h4>例题 1：计算 3 阶行列式</h4>
<p>给定 3 阶行列式：</p>
<pre>
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
</pre>
<p>我们选择按第一行展开：</p>
<pre>
\det(A) = 1 \cdot A_{11} + 2 \cdot A_{12} + 3 \cdot A_{13}
</pre>
<p>计算各代数余子式：</p>
<ul>
<li><span>A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \det\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = -3</span></li>
<li><span>A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \det\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = - (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = 6</span></li>
<li><span>A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \det\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = -3</span></li>
</ul>
<p>因此：</p>
<pre>
\det(A) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0
</pre>
<h4>例题 2：计算 4 阶行列式</h4>
<p>给定 4 阶行列式：</p>
<pre>
| 1 0 2 3 |
| 0 1 4 5 |
| 0 0 1 6 |
| 0 0 0 1 |
</pre>
<p>我们选择按第一列展开：</p>
<pre>
\det(A) = 1 \cdot A_{11} + 0 \cdot A_{21} + 0 \cdot A_{31} + 0 \cdot A_{41}
</pre>
<p>由于其他项均为 0，只需计算 <span>A_{11}</span>：</p>
<pre>
A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \det\begin{vmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}
</pre>
<p>这是一个上三角行列式，其值等于主对角线元素的乘积：</p>
<pre>
\det\begin{vmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1
</pre>
<p>因此：</p>
<pre>
\det(A) = 1 \cdot 1 = 1
</pre>