行列式按行（列）展开
余子式和代数余子式的定义
重要程度：8 分
<h2>1. 余子式 (Minor)</h2>
<p>设 <span>A</span> 是一个 <span>n</span> 阶行列式，<span>a_{ij}</span> 是 <span>A</span> 中第 <span>i</span> 行第 <span>j</span> 列的元素。将 <span>A</span> 中第 <span>i</span> 行和第 <span>j</span> 列划去后，剩下的 <span>(n-1)</span> 阶行列式称为元素 <span>a_{ij}</span> 的余子式，记作 <span>M_{ij}</span>。</p>
<h2>2. 代数余子式 (Cofactor)</h2>
<p>元素 <span>a_{ij}</span> 的代数余子式 <span>A_{ij}</span> 定义为：</p>
<p><span>A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}</span></p>
<p>其中，<span>M_{ij}</span> 是元素 <span>a_{ij}</span> 的余子式。</p>
<h3>例题 1：计算余子式和代数余子式</h3>
<p>给定三阶行列式 <span>A</span>：</p>
<pre>
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
</pre>
<p>求元素 <span>a_{11}</span> 的余子式 <span>M_{11}</span> 和代数余子式 <span>A_{11}</span>。</p>
<p>解：</p>
<ul>
<li>划去第一行和第一列，得到余子式 <span>M_{11}</span>：</li>
<pre>
| 5 6 |
| 8 9 |
</pre>
<li>计算 <span>M_{11}</span>：</li>
<pre>
M_{11} = 5 * 9 - 6 * 8 = 45 - 48 = -3
</pre>
<li>计算代数余子式 <span>A_{11}</span>：</li>
<pre>
A_{11} = (-1)^(1+1) * M_{11} = 1 * (-3) = -3
</pre>
</ul>
<h3>例题 2：计算其他元素的代数余子式</h3>
<p>继续使用上面的三阶行列式 <span>A</span>，求元素 <span>a_{23}</span> 的余子式 <span>M_{23}</span> 和代数余子式 <span>A_{23}</span>。</p>
<p>解：</p>
<ul>
<li>划去第二行和第三列，得到余子式 <span>M_{23}</span>：</li>
<pre>
| 1 2 |
| 7 8 |
</pre>
<li>计算 <span>M_{23}</span>：</li>
<pre>
M_{23} = 1 * 8 - 2 * 7 = 8 - 14 = -6
</pre>
<li>计算代数余子式 <span>A_{23}</span>：</li>
<pre>
A_{23} = (-1)^(2+3) * M_{23} = (-1) * (-6) = 6
</pre>
</ul>