初等变换与初等矩阵
初等矩阵的性质
重要程度：7 分
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<h2>初等矩阵的性质</h2>
<ul>
<li><strong>性质1：</strong> 初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵也是初等矩阵。</li>
<p>例如：设E(i,j)是交换第i行与第j行得到的初等矩阵，则E(i,j)的逆矩阵就是E(i,j)本身。</p>
<li><strong>性质2：</strong> 一个矩阵左乘初等矩阵相当于对该矩阵进行一次初等行变换；右乘初等矩阵相当于对该矩阵进行一次初等列变换。</li>
<p>例如：设A是一个3x3矩阵，E(1,2)是交换第一行与第二行的初等矩阵，则AE(1,2)相当于对A进行了一次行变换，即交换了A的第一行与第二行。</p>
<li><strong>性质3：</strong> 初等矩阵的行列式值为1或-1。</li>
<p>例如：设E(i,j)是交换第i行与第j行得到的初等矩阵，则|E(i,j)| = -1。</p>
<li><strong>性质4：</strong> 初等矩阵的转置仍然是初等矩阵。</li>
<p>例如：设E(i,j)是交换第i行与第j行得到的初等矩阵，则E(i,j)<sup>T</sup> = E(i,j)，即E(i,j)的转置还是E(i,j)。</p>
</ul>
<h3>例题说明</h3>
<p>假设有一个3x3矩阵A如下：</p>
<pre>
A = [1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]
</pre>
<p>我们用初等矩阵E(1,2)来交换A的第一行与第二行：</p>
<pre>
E(1,2) = [0 1 0]
[1 0 0]
[0 0 1]
</pre>
<p>计算AE(1,2)：</p>
<pre>
AE(1,2) = [4 5 6]
[1 2 3]
[7 8 9]
</pre>
<p>可以看到，AE(1,2)的结果正是将A的第一行与第二行进行了交换。</p>
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