初等变换与初等矩阵
利用初等变换求逆矩阵的方法
重要程度：9 分
<div>
<h2>利用初等变换求逆矩阵的方法</h2>
<p>初等变换是线性代数中的基本工具之一，它可以帮助我们简化矩阵，进而解决各种问题。初等变换包括三种类型：</p>
<ol>
<li>互换两行（列）的位置；</li>
<li>用一个非零数乘某一行（列）的所有元素；</li>
<li>把某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去。</li>
</ol>
<p>利用初等变换求逆矩阵的方法是将给定的矩阵A与其单位矩阵I拼接在一起形成一个新的矩阵(A|I)，然后通过一系列初等行变换将A转化为单位矩阵I，此时原来的单位矩阵I就会变成A的逆矩阵A<sup>-1</sup>，即(A|I) → (I|A<sup>-1</sup>)。</p>
<h3>例题说明</h3>
<p>例如，求矩阵A的逆矩阵，其中A为：</p>
<p>A =
<table border="1" style="border-collapse: collapse;">
<tr><td>1</td><td>2</td></tr>
<tr><td>3</td><td>4</td></tr>
</table>
</p>
<p>首先构造增广矩阵(A|I)：</p>
<p>(A|I) =
<table border="1" style="border-collapse: collapse;">
<tr><td>1</td><td>2</td><td>|</td><td>1</td><td>0</td></tr>
<tr><td>3</td><td>4</td><td>|</td><td>0</td><td>1</td></tr>
</table>
</p>
<p>接下来进行初等变换，目标是将左边的A矩阵变为单位矩阵：</p>
<ol>
<li>将第一行乘以3减去第二行，得到新的第二行：</li>
<p>(A|I) =
<table border="1" style="border-collapse: collapse;">
<tr><td>1</td><td>2</td><td>|</td><td>1</td><td>0</td></tr>
<tr><td>0</td><td>-2</td><td>|</td><td>-3</td><td>1</td></tr>
</table>
</p>
<li>将第二行除以-2：</li>
<p>(A|I) =
<table border="1" style="border-collapse: collapse;">
<tr><td>1</td><td>2</td><td>|</td><td>1</td><td>0</td></tr>
<tr><td>0</td><td>1</td><td>|</td><td>1.5</td><td>-0.5</td></tr>
</table>
</p>
<li>将第一行减去2倍的第二行：</li>
<p>(A|I) =
<table border="1" style="border-collapse: collapse;">
<tr><td>1</td><td>0</td><td>|</td><td>-2</td><td>1</td></tr>
<tr><td>0</td><td>1</td><td>|</td><td>1.5</td><td>-0.5</td></tr>
</table>
</p>
</ol>
<p>此时，左边的矩阵已经是单位矩阵，因此右边的矩阵就是A的逆矩阵A<sup>-1</sup>：</p>
<p>A<sup>-1</sup> =
<table border="1" style="border-collapse: collapse;">
<tr><td>-2</td><td>1</td></tr>
<tr><td>1.5</td><td>-0.5</td></tr>
</table>
</p>
</div>