初等变换与初等矩阵
初等矩阵与初等变换的关系
重要程度：10 分
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<h2>初等矩阵与初等变换的关系</h2>
<p>初等矩阵是通过单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。</p>
<p>初等变换有三种类型：</p>
<ul>
<li>交换两行（列）的位置</li>
<li>用一个非零数k乘以某一行（列）</li>
<li>将某一行（列）的k倍加到另一行（列）上</li>
</ul>
<p>每种初等变换都可以对应一个初等矩阵：</p>
<ul>
<li>交换两行：对单位矩阵的第i行和第j行进行交换得到的矩阵称为第一类初等矩阵，记为E(i,j)。</li>
<li>用一个非零数k乘以某一行：对单位矩阵的第i行乘以非零数k得到的矩阵称为第二类初等矩阵，记为E(i(k))。</li>
<li>将某一行的k倍加到另一行：对单位矩阵的第j行加上第i行的k倍得到的矩阵称为第三类初等矩阵，记为E(ij(k))。</li>
</ul>
<h3>举例说明</h3>
<p>假设我们有一个单位矩阵I：</p>
<pre>
I = | 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 |
</pre>
<p>如果我们进行以下初等变换：</p>
<ol>
<li>交换第一行和第二行</li>
<li>用2乘以第二行</li>
<li>将第一行的3倍加到第三行</li>
</ol>
<p>则对应的初等矩阵分别为：</p>
<pre>
E(1,2) = | 0 1 0 |
| 1 0 0 |
| 0 0 1 |
E(2(2)) = | 1 0 0 |
| 0 2 0 |
| 0 0 1 |
E(31(3)) = | 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 3 0 1 |
</pre>
<p>如果我们将这三个初等矩阵依次左乘到单位矩阵I上，则会得到相应的变换结果：</p>
<pre>
E(31(3)) * E(2(2)) * E(1,2) * I =
| 1 0 0 | | 1 0 0 | | 0 1 0 | | 1 0 0 |
| 0 1 0 | * | 0 2 0 | * | 1 0 0 | * | 0 1 0 |
| 3 0 1 | | 0 0 1 | | 0 0 1 | | 0 0 1 |
= | 0 2 0 |
| 1 0 0 |
| 3 0 1 |
</pre>
<p>可以看到，这个结果与我们直接对单位矩阵进行上述初等变换得到的结果是一致的。</p>
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