初等变换与初等矩阵
初等矩阵的定义
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<h2>初等矩阵的定义</h2>
<p>初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。</p>
<p>初等变换包括以下三种类型：</p>
<ol>
<li>交换两行（列）的位置。</li>
<li>用一个非零常数k乘某一行（列）。</li>
<li>将某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去。</li>
</ol>
<p>根据这三种初等变换，对应的初等矩阵有三种类型：</p>
<ol>
<li>交换两行（列）的位置：交换第i行和第j行得到的初等矩阵记为E(i,j)。</li>
<li>用一个非零常数k乘某一行（列）：第i行乘以k得到的初等矩阵记为E(i(k))。</li>
<li>将某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去：第j行加上第i行的k倍得到的初等矩阵记为E(ij(k))。</li>
</ol>
<h3>例题</h3>
<p>构造一个3x3的初等矩阵，使其表示交换第一行和第二行的操作。</p>
<p>解：交换第一行和第二行的初等矩阵E(1,2)为：</p>
<pre>
E(1,2) =
| 0 1 0 |
| 1 0 0 |
| 0 0 1 |
</pre>
<p>验证：用E(1,2)左乘一个3x3矩阵A，即E(1,2)A，结果就是A的第一行和第二行被交换了。</p>