几种特殊的矩阵
对角矩阵
重要程度：6 分
<h2>对角矩阵</h2>
<p><strong>定义：</strong> 对角矩阵是一种特殊类型的方阵，其非对角线上的所有元素均为0。</p>
<p>形式如下：</p>
<p>$$
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
$$</p>
<h3>性质：</h3>
<ul>
<li>对角矩阵的行列式等于其主对角线上元素的乘积。</li>
<li>对角矩阵的逆矩阵（如果存在）也是一个对角矩阵，其主对角线上的元素是原矩阵主对角线上元素的倒数。</li>
<li>对角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素。</li>
<li>两个对角矩阵相加或相乘的结果仍然是一个对角矩阵。</li>
</ul>
<h3>例题：</h3>
<p>考虑两个对角矩阵A和B：</p>
<p>$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{bmatrix},
B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix}
$$</p>
<p>计算A+B:</p>
<p>$$
A + B = \begin{bmatrix}
2+1 & 0 & 0 \\
0 & 3+5 & 0 \\
0 & 0 & 4+6
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 10
\end{bmatrix}
$$</p>
<p>计算AB:</p>
<p>$$
AB = \begin{bmatrix}
2*1 & 0 & 0 \\
0 & 3*5 & 0 \\
0 & 0 & 4*6
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 15 & 0 \\
0 & 0 & 24
\end{bmatrix}
$$</p>