函数的极限
无穷小与无穷大
重要程度：7 分
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<h2>无穷小与无穷大</h2>
<p><strong>1. 无穷小：</strong></p>
<ul>
<li>定义：当自变量x趋向于某个值时，函数f(x)无限接近于0，则称f(x)为x趋向于这个值时的无穷小。</li>
<li>举例：函数f(x)=1/x在x趋向于正无穷时是无穷小，因为f(x)无限接近于0。</li>
</ul>
<p><strong>2. 无穷大：</strong></p>
<ul>
<li>定义：当自变量x趋向于某个值时，函数f(x)无限增大或无限减小，则称f(x)为x趋向于这个值时的无穷大。</li>
<li>举例：函数f(x)=x在x趋向于正无穷时是无穷大，因为f(x)无限增大。</li>
</ul>
<p><strong>3. 无穷小与无穷大的关系：</strong></p>
<ul>
<li>若函数f(x)在某点的极限为无穷大，则其倒数1/f(x)在该点的极限为无穷小。</li>
<li>若函数f(x)在某点的极限为无穷小且不等于0，则其倒数1/f(x)在该点的极限为无穷大。</li>
</ul>
<p><strong>4. 无穷小的性质：</strong></p>
<ul>
<li>有限个无穷小之和仍为无穷小。</li>
<li>有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。</li>
</ul>
<p><strong>5. 无穷大的性质：</strong></p>
<ul>
<li>有限个无穷大之和仍为无穷大。</li>
<li>无界函数与无穷大的乘积仍为无穷大。</li>
</ul>
<p><strong>例题1：</strong>证明：当x趋向于正无穷时，函数f(x)=1/x是无穷小。</p>
<p>解：当x趋向于正无穷时，1/x无限接近于0，因此f(x)是无穷小。</p>
<p><strong>例题2：</strong>证明：当x趋向于正无穷时，函数g(x)=x是无穷大。</p>
<p>解：当x趋向于正无穷时，x无限增大，因此g(x)是无穷大。</p>
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