函数的极限
极限运算法则
重要程度：9 分
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<h2>极限运算法则</h2>
<p>极限运算法则是求解复杂函数极限的重要工具。主要包括以下几点：</p>
<ul>
<li><strong>法则1：有限个无穷小量之和仍为无穷小量。</strong></li>
<li><strong>法则2：有限个无穷小量之积仍为无穷小量。</strong></li>
<li><strong>法则3：有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量。</strong></li>
<li><strong>法则4：极限的四则运算：</strong>
<ul>
<li>若\(\lim_{x \to a} f(x) = A\)且\(\lim_{x \to a} g(x) = B\)，则
<ul>
<li>\(\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B\)</li>
<li>\(\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B\)</li>
<li>\(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\)，其中\(B \neq 0\)</li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><strong>法则5：复合函数的极限运算法则：</strong>
<ul>
<li>若\(\lim_{x \to a} f(x) = b\)，且在点\(b\)的某个去心邻域内，\(g(x)\)有定义，则
<ul>
<li>\(\lim_{x \to a} g(f(x)) = g(b)\)，即极限符号可交换。</li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
<h3>例题说明</h3>
<p><strong>例题1：</strong> 求\(\lim_{x \to 2} (3x^2 + 2x - 1)\)</p>
<p>根据法则4，我们可以分别求出每个部分的极限，然后相加。</p>
<p>\(\lim_{x \to 2} 3x^2 = 3 \cdot 2^2 = 12\)</p>
<p>\(\lim_{x \to 2} 2x = 2 \cdot 2 = 4\)</p>
<p>\(\lim_{x \to 2} (-1) = -1\)</p>
<p>所以，\(\lim_{x \to 2} (3x^2 + 2x - 1) = 12 + 4 - 1 = 15\)</p>
<p><strong>例题2：</strong> 求\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)</p>
<p>首先，我们可以通过因式分解简化表达式。</p>
<p>\(\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1)\)</p>
<p>根据法则4，我们得到</p>
<p>\(\lim_{x \to 1} (x+1) = 1 + 1 = 2\)</p>
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