函数的极限
函数极限的性质
重要程度：8 分
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<h2>函数极限的性质</h2>
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<strong>唯一性：</strong>
如果 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ 存在，则 $L$ 是唯一的。即，对于同一个点 $a$，函数 $f(x)$ 的极限只能有一个值。
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<em>例题：</em>
考虑函数 $f(x) = x^2$，计算 $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$。
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解：$\lim\limits_{x \to 2} x^2 = 4$，极限值唯一。
</li>
<li>
<strong>局部有界性：</strong>
若 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$，则存在某个 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，$f(x)$ 在 $(a-\delta, a+\delta)$ 内有界。
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<em>例题：</em>
考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，计算 $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$。
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解：$\lim\limits_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1$，在 $(0.5, 1.5)$ 内 $f(x)$ 有界。
</li>
<li>
<strong>局部保号性：</strong>
若 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在某个 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，$f(x) > 0$。
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<em>例题：</em>
考虑函数 $f(x) = x + 1$，计算 $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$。
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解：$\lim\limits_{x \to 0} (x + 1) = 1$，在 $(-0.5, 0.5)$ 内 $f(x) > 0$。
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<strong>局部保不等式性：</strong>
若 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L_1$ 和 $\lim\limits_{x \to a} g(x) = L_2$，且 $L_1 < L_2$，则存在某个 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，$f(x) < g(x)$。
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<em>例题：</em>
考虑函数 $f(x) = x$ 和 $g(x) = x^2$，计算 $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ 和 $\lim\limits_{x \to 0} g(x)$。
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解：$\lim\limits_{x \to 0} x = 0$，$\lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0$。但在 $(-0.5, 0.5)$ 内，当 $x > 0$ 时 $f(x) < g(x)$。
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