复合函数和反函数
复合函数的性质
重要程度：7 分
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<h2>复合函数的性质</h2>
<p>复合函数是由两个或多个函数组合而成的。如果函数$f$的值域是函数$g$的定义域的一个子集，则可以定义一个新函数$h(x) = g(f(x))$，这个新函数就是复合函数。</p>
<h3>性质1：复合函数的定义域</h3>
<p>假设函数$f: A \to B$ 和 $g: B \to C$，则复合函数$g \circ f: A \to C$ 定义为 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$。复合函数的定义域是函数$f$的定义域。</p>
<h3>性质2：复合函数的值域</h3>
<p>复合函数$g \circ f$ 的值域是函数$g$在函数$f$的值域上的取值范围。</p>
<h3>性质3：复合函数的可逆性</h3>
<p>如果函数$f$和$g$都是双射（即一一对应），那么复合函数$g \circ f$也是双射。</p>
<h3>性质4：复合函数的结合律</h3>
<p>假设函数$f: A \to B$，$g: B \to C$，$h: C \to D$，则有$(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$。</p>
<h3>例题</h3>
<p>设$f(x) = x^2 + 1$ 和 $g(x) = \sqrt{x}$，求复合函数$(g \circ f)(x)$ 和 $(f \circ g)(x)$。</p>
<p>解：</p>
<p>首先计算$(g \circ f)(x)$:</p>
<p>$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 + 1) = \sqrt{x^2 + 1}$。</p>
<p>然后计算$(f \circ g)(x)$:</p>
<p>$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 + 1 = x + 1$。</p>
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