复合函数和反函数
复合函数的求导法则
重要程度：9 分
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<h2>复合函数的求导法则</h2>
<p>复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。假设有一个复合函数 \( y = f(g(x)) \)，其中 \( g(x) \) 是内层函数，\( f(u) \) 是外层函数。</p>
<p>根据链式法则，复合函数的导数公式为：</p>
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<p>\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)</p>
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<p>其中，\(\frac{dy}{du}\) 是外层函数对中间变量 \( u \) 的导数，\(\frac{du}{dx}\) 是内层函数对自变量 \( x \) 的导数。</p>
<h3>例题</h3>
<p>假设有一个复合函数 \( y = (3x^2 + 2)^4 \)。</p>
<p>我们可以将其分解为：\( u = 3x^2 + 2 \) 和 \( y = u^4 \)。</p>
<p>首先求内层函数 \( u = 3x^2 + 2 \) 对 \( x \) 的导数：</p>
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<p>\( \frac{du}{dx} = 6x \)</p>
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<p>然后求外层函数 \( y = u^4 \) 对 \( u \) 的导数：</p>
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<p>\( \frac{dy}{du} = 4u^3 \)</p>
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<p>最后应用链式法则计算复合函数的导数：</p>
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<p>\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot 6x = 4(3x^2 + 2)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 2)^3 \)</p>
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