第七节 函数的连续性
初等函数的连续性
重要程度：7 分
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<h2>初等函数的连续性</h2>
<p>初等函数在其定义域内是连续的。初等函数包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。</p>
<h3>1. 多项式函数</h3>
<p>多项式函数在实数集上处处连续。</p>
<p>例如，函数 $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$ 在所有实数上都是连续的。</p>
<h3>2. 有理函数</h3>
<p>有理函数在其定义域内（即分母不为零的点）是连续的。</p>
<p>例如，函数 $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ 在所有 $x \neq 3$ 的点上是连续的。</p>
<h3>3. 指数函数</h3>
<p>指数函数在其定义域内是连续的。</p>
<p>例如，函数 $h(x) = e^x$ 在所有实数上都是连续的。</p>
<h3>4. 对数函数</h3>
<p>对数函数在其定义域内（即正实数）是连续的。</p>
<p>例如，函数 $i(x) = \ln(x)$ 在所有 $x > 0$ 的点上是连续的。</p>
<h3>5. 三角函数</h3>
<p>三角函数在其定义域内是连续的。</p>
<p>例如，函数 $j(x) = \sin(x)$ 和 $k(x) = \cos(x)$ 在所有实数上都是连续的。</p>
<h3>6. 反三角函数</h3>
<p>反三角函数在其定义域内是连续的。</p>
<p>例如，函数 $m(x) = \arcsin(x)$ 在所有 $-1 \leq x \leq 1$ 的点上是连续的。</p>
<h3>例题</h3>
<p>判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 在哪些点上是连续的。</p>
<p>解：首先找到函数的定义域。由于分母不能为零，所以 $x - 2 \neq 0$，即 $x \neq 2$。因此，函数在所有 $x \neq 2$ 的点上是连续的。</p>
<p>进一步简化函数，得到 $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$，除了 $x = 2$ 外，在其余点上都连续。</p>
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