第七节 函数的连续性
函数间断点的分类
重要程度：8 分
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<h2>函数间断点的分类</h2>
<p>函数在某一点不连续时，根据其性质的不同，可以将间断点分为两类：</p>
<ul>
<li><strong>第一类间断点</strong></li>
<ul>
<li><strong>可去间断点</strong>：函数在该点处的左右极限存在且相等，但函数值不存在或不等于该极限值。</li>
<li><strong>跳跃间断点</strong>：函数在该点处的左右极限存在但不相等。</li>
</ul>
<li><strong>第二类间断点</strong></li>
<ul>
<li><strong>无穷间断点</strong>：函数在该点处的极限为无穷大。</li>
<li><strong>振荡间断点</strong>：函数在该点处的极限不存在且不是无穷大。</li>
</ul>
</ul>
<h3>例题说明</h3>
<p>考虑函数 $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ 在 $x=2$ 处的性质。</p>
<p>首先计算 $x=2$ 处的左右极限：</p>
<p>$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} (x+2) = 4$</p>
<p>$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} (x+2) = 4$</p>
<p>由于左右极限存在且相等，但是 $f(2)$ 无定义，因此 $x=2$ 是一个可去间断点。</p>
<p>如果我们将函数定义为 $g(x)=\begin{cases}
\frac{x^2-4}{x-2}, & x \neq 2 \\
4, & x = 2
\end{cases}$，则 $g(x)$ 在 $x=2$ 处是连续的。</p>
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