高等数学(工专)

<h2>闭区间上连续函数的性质</h2> <p>在闭区间上，连续函数具有以下重要性质：</p> <h3>1. 有界性定理</h3> <p>若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，则它在这个区间上有界。</p> <p>即存在正数$M$使得对于所有$x \in [a, b]$，都有$|f(x)| \leq M$。</p> <p><strong>例题：</strong>考虑函数$f(x) = x^2$在闭区间$[0, 1]$上。显然$f(x)$在此区间上连续，且$|f(x)| \leq 1$，因此符合有界性定理。</p> <h3>2. 最值定理</h3> <p>若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，则它在这个区间上必取得最大值和最小值。</p> <p>即存在$x_1, x_2 \in [a, b]$使得对于所有$x \in [a, b]$，都有$f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$。</p> <p><strong>例题：</strong>考虑函数$f(x) = x^2 - 2x + 2$在闭区间$[0, 2]$上。显然$f(x)$在此区间上连续，通过求导可得极值点$x=1$，计算得$f(0)=2$，$f(1)=1$，$f(2)=2$，因此$f(x)$在$[0, 2]$上的最大值为2，最小值为1。</p> <h3>3. 零点定理</h3> <p>若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则至少存在一个$c \in (a, b)$使得$f(c) = 0$。</p> <p><strong>例题：</strong>考虑函数$f(x) = x^3 - x$在闭区间$[-1, 1]$上。显然$f(x)$在此区间上连续，且$f(-1) = -2$，$f(1) = 0$，$f(0) = 0$，因为$f(-1)$和$f(1)$异号，所以至少存在一个$c \in (-1, 1)$使得$f(c) = 0$。</p> <h3>4. 中值定理</h3> <p>若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$内可导，则至少存在一个$\xi \in (a, b)$使得$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。</p> <p><strong>例题：</strong>考虑函数$f(x) = x^2$在闭区间$[0, 2]$上。显然$f(x)$在此区间上连续且可导，计算得$f'(x) = 2x$，根据中值定理，存在$\xi \in (0, 2)$使得$f'(\xi) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{4 - 0}{2} = 2$，解得$\xi = 1$。</p>

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