第七节 函数的连续性
函数连续性的定义
重要程度：9 分
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<h2>函数连续性的定义</h2>
<p>设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，若满足：</p>
<ol>
<li>$\lim_{{x \to x_0}} f(x)$存在；</li>
<li>$f(x_0)$存在；</li>
<li>$\lim_{{x \to x_0}} f(x) = f(x_0)$。</li>
</ol>
<p>则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。</p>
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<h3>例题说明</h3>
<p>考虑函数$f(x) = x^2 + 1$，证明函数在$x=2$处是连续的。</p>
<ol>
<li>计算$\lim_{{x \to 2}} (x^2 + 1)$：当$x$接近2时，$x^2$接近4，所以$\lim_{{x \to 2}} (x^2 + 1) = 4 + 1 = 5$。</li>
<li>计算$f(2)$：$f(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$。</li>
<li>验证$\lim_{{x \to 2}} f(x) = f(2)$：由步骤1和步骤2可知，$\lim_{{x \to 2}} (x^2 + 1) = 5 = f(2)$。</li>
</ol>
<p>因此，根据函数连续性的定义，函数$f(x) = x^2 + 1$在$x=2$处是连续的。</p>
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