第五节 极限存在准则两个重要极限
第一个重要极限
重要程度：9 分
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<h2>第一个重要极限</h2>
<p><strong>公式：</strong></p>
<p>\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]</p>
<p>这个极限表示当 \( x \) 趋近于 0 时，\(\frac{\sin x}{x}\) 的值趋近于 1。</p>
<h3>通俗理解</h3>
<p>想象一个单位圆，其中角 \( x \) 的正弦值是该角在单位圆上的y坐标。当 \( x \) 很小时，\( \sin x \) 接近 \( x \)，所以它们的比值接近于 1。</p>
<h3>例题</h3>
<p>求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}\)</p>
<p><strong>解题步骤：</strong></p>
<ol>
<li>将原式变形：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}\right)\)</li>
<li>令 \( y = 5x \)，则当 \( x \to 0 \) 时，\( y \to 0 \)。</li>
<li>代入第一个重要极限的公式：\(\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1\)。</li>
<li>因此，\(\lim_{x \to 0} \left(5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}\right) = 5 \cdot 1 = 5\)。</li>
</ol>
<p>最终结果为：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = 5\)。</p>
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