第五节 极限存在准则两个重要极限
第二个重要极限
重要程度：9 分
<h2>第二个重要极限</h2>
<p>第二个重要极限是指：</p>
\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \]
<p>其中，\( e \) 是自然对数的底数，大约等于 2.71828。</p>
<h3>理解与举例</h3>
<p>这个极限可以帮助我们计算一些复杂的指数函数的极限问题。下面通过一个例子来具体说明如何应用这个极限。</p>
<h4>例题1</h4>
<p>求 \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\)</p>
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \]
<h4>例题2</h4>
<p>求 \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x\)</p>
<p>首先，将 \(\left(1 + \frac{2}{x}\right)^x\) 转换为一个形式上更接近第二个重要极限的形式：</p>
\[ \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = \left[\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right]^2 \]
<p>设 \(y = \frac{x}{2}\)，则当 \(x \to \infty\) 时，\(y \to \infty\)，因此：</p>
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = \lim_{y \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{y}\right)^y\right]^2 = e^2 \]
<h4>例题3</h4>
<p>求 \(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}\)</p>
<p>这里可以利用换元法，令 \(t = \frac{1}{x}\)，则当 \(x \to 0\) 时，\(t \to \infty\)，因此：</p>
\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e \]