高等数学(工专)

<div> <h2>极限存在的两个准则</h2> <p><strong>准则一：夹逼准则</strong></p> <p>如果当$x$趋向于$a$时，有三个函数$f(x)$、$g(x)$和$h(x)$满足以下条件：</p> <ul> <li>$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$</li> <li>$\lim_{{x \to a}} f(x) = \lim_{{x \to a}} h(x) = L$</li> </ul> <p>那么$\lim_{{x \to a}} g(x) = L$。</p> <p><strong>例题1：</strong> 求$\lim_{{x \to 0}} x^2 \sin(\frac{1}{x})$。</p> <p>解：因为$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$，所以有$-x^2 \leq x^2 \sin(\frac{1}{x}) \leq x^2$。而$\lim_{{x \to 0}} (-x^2) = \lim_{{x \to 0}} x^2 = 0$，根据夹逼准则，$\lim_{{x \to 0}} x^2 \sin(\frac{1}{x}) = 0$。</p> <p><strong>准则二：单调有界定理</strong></p> <p>如果数列$\{a_n\}$是单调增加且有上界的数列，或者单调减少且有下界的数列，那么这个数列必定收敛。</p> <p><strong>例题2：</strong> 证明数列$\{a_n\}$，其中$a_1=1, a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}$是收敛的。</p> <p>解：首先证明$\{a_n\}$是单调增加的。由于$a_2=\sqrt{1+a_1}=\sqrt{2}>1=a_1$，假设$a_n > a_{n-1}$，则$a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}>\sqrt{1+a_{n-1}}=a_n$，因此数列$\{a_n\}$是单调增加的。</p> <p>其次证明$\{a_n\}$是有上界的。由$a_2=\sqrt{2}<2$，假设$a_n<2$，则$a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}<\sqrt{1+2}=2$，因此数列$\{a_n\}$是有上界的。</p> <p>综上所述，根据单调有界定理，数列$\{a_n\}$收敛。</p> </div>

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