高等数学(工专)

<ol> <li>无穷小量与无穷大量的关系</li> <p>无穷小量和无穷大量是极限理论中的两个重要概念。它们之间存在一定的联系。</p> <p>首先，我们来定义这两个概念：</p> <ul> <li>当$x \to x_0$时，若$f(x) \to 0$，则称$f(x)$为$x \to x_0$时的无穷小量。</li> <li>当$x \to x_0$时，若$\left| f(x) \right| \to +\infty$，则称$f(x)$为$x \to x_0$时的无穷大量。</li> </ul> <p>无穷小量和无穷大量之间的关系可以用下面的定理表示：</p> <p>设$f(x)$在$x \to x_0$时为无穷大量，则$\frac{1}{f(x)}$为$x \to x_0$时的无穷小量；反之，若$f(x)$在$x \to x_0$时为无穷小量且$f(x) \neq 0$，则$\frac{1}{f(x)}$为$x \to x_0$时的无穷大量。</p> <p>这个定理说明了无穷小量和无穷大量互为倒数的关系。</p> <li>例题</li> <p>例1：证明$x^2$在$x \to \infty$时为无穷大量，$\frac{1}{x^2}$在$x \to \infty$时为无穷小量。</p> <p>证明：当$x \to \infty$时，$x^2 \to +\infty$，因此$x^2$为无穷大量。</p> <p>另一方面，由于$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$，所以$\frac{1}{x^2}$为$x \to \infty$时的无穷小量。</p> <p>例2：证明$\frac{1}{x-1}$在$x \to 1$时为无穷大量，$x-1$在$x \to 1$时为无穷小量。</p> <p>证明：当$x \to 1$时，$\frac{1}{x-1} \to +\infty$，因此$\frac{1}{x-1}$为$x \to 1$时的无穷大量。</p> <p>另一方面，由于$\lim_{x \to 1} (x-1) = 0$，所以$x-1$为$x \to 1$时的无穷小量。</p> </ol>

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