高等数学(工专)

<h2>无穷大量的定义</h2> <p>设函数$f(x)$在$x=a$附近有定义（但不要求在$x=a$处有定义）。如果对于任意给定的正数$M$（无论多么大），总存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，都有$|f(x)|>M$，则称$f(x)$当$x$趋向于$a$时为无穷大量。</p> <p>同样地，如果对于任意给定的正数$M$（无论多么大），总存在正数$X$，使得当$|x|>X$时，都有$|f(x)|>M$，则称$f(x)$当$x$趋向于无穷大时为无穷大量。</p> <h3>例题说明</h3> <p>考虑函数$f(x)=\frac{1}{x}$，我们来证明当$x \to \infty$时，$f(x)$是无穷大量。</p> <p>根据无穷大量的定义，我们需要找到一个正数$\delta$，使得当$x > \delta$时，$|f(x)| > M$。</p> <p>即需要证明：对于任意给定的正数$M$，存在正数$\delta$，使得当$x > \delta$时，有$\left|\frac{1}{x}\right| > M$。</p> <p>因为$\left|\frac{1}{x}\right| = \frac{1}{x}$，所以只需证明：对于任意给定的正数$M$，存在正数$\delta$，使得当$x > \delta$时，有$\frac{1}{x} > M$。</p> <p>取$\delta = \frac{1}{M}$，则当$x > \delta$时，$\frac{1}{x} < \frac{1}{\delta} = M$。因此，$f(x)=\frac{1}{x}$当$x \to \infty$时是无穷大量。</p>

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