第二节 极限的概念
函数的极限
重要程度：9 分
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<h2>函数的极限</h2>
<p><strong>1. 定义：</strong></p>
<p>当自变量x无限接近于某个值a时，函数f(x)无限接近于某个值A，则称A为函数f(x)在x=a处的极限，记作:</p>
<p>\[\lim_{{x \to a}} f(x) = A\]</p>
<p><strong>2. 左极限与右极限：</strong></p>
<p>当x从左侧无限接近于a时，函数f(x)无限接近于A，则称A为f(x)在x=a处的左极限，记作:</p>
<p>\[\lim_{{x \to a^-}} f(x) = A\]</p>
<p>当x从右侧无限接近于a时，函数f(x)无限接近于A，则称A为f(x)在x=a处的右极限，记作:</p>
<p>\[\lim_{{x \to a^+}} f(x) = A\]</p>
<p><strong>3. 重要性质：</strong></p>
<p>函数f(x)在x=a处的极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。</p>
<p>\[\lim_{{x \to a^-}} f(x) = \lim_{{x \to a^+}} f(x)\]</p>
<p><strong>4. 举例说明：</strong></p>
<p>考虑函数 \(f(x) = x^2\) 在 \(x=2\) 处的极限：</p>
<p>\[\lim_{{x \to 2}} x^2 = 4\]</p>
<p>这个例子说明了当x无限接近于2时，\(x^2\) 的值无限接近于4。</p>
<p>再考虑函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(x=0\) 处的情况：</p>
<p>\[\lim_{{x \to 0^-}} \frac{1}{x} = -\infty\]</p>
<p>\[\lim_{{x \to 0^+}} \frac{1}{x} = +\infty\]</p>
<p>这说明当x从左侧无限接近于0时，函数值趋向于负无穷大；而当x从右侧无限接近于0时，函数值趋向于正无穷大。因此，\(\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x}\) 并不存在。</p>
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