高等数学(工专)

<div> <h2>数列的极限</h2> <p>数列的极限是描述数列在无限接近某个值时的行为。给定一个数列 $\{a_n\}$，如果当 $n$ 趋向于无穷大时，数列的项 $a_n$ 无限接近于某个常数 $A$，则称数列 $\{a_n\}$ 的极限为 $A$。</p> <h3>定义</h3> <p>设 $\{a_n\}$ 是一个数列，若对任意给定的正数 $\epsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - A| < \epsilon$，则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $A$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$。</p> <h3>例题</h3> <p>考虑数列 $\{a_n\} = \left\{\frac{1}{n}\right\}$，证明 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。</p> <p><strong>证明：</strong> 对于任意给定的正数 $\epsilon > 0$，要使 $|\frac{1}{n} - 0| < \epsilon$ 成立，即 $\frac{1}{n} < \epsilon$。取 $N > \frac{1}{\epsilon}$，则当 $n > N$ 时，有 $\frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \epsilon$，从而 $|\frac{1}{n} - 0| < \epsilon$ 成立。因此，$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。</p> </div>

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