行列式按行（列）展开
行列式按行（列）展开定理
重要程度：9 分
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<h2>行列式按行（列）展开定理</h2>
<p>行列式按行（列）展开定理是线性代数中的一个重要概念，它描述了如何通过行列式的某一行或某一列来计算整个行列式的值。</p>
<p>设 \( D \) 是一个 \( n \) 阶行列式，\( A_{ij} \) 为元素 \( a_{ij} \) 的代数余子式，则有：</p>
<ul>
<li>按第 \( i \) 行展开：\( D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \)</li>
<li>按第 \( j \) 列展开：\( D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} \)</li>
</ul>
<h3>例题说明</h3>
<p>考虑一个三阶行列式 \( D \) 如下：</p>
<pre>
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
</pre>
<p>我们可以通过按第一行展开来计算这个行列式的值：</p>
<pre>
D = 1 * A11 + 2 * A12 + 3 * A13
</pre>
<p>其中，\( A_{11} \), \( A_{12} \), \( A_{13} \) 分别是元素 \( a_{11} \), \( a_{12} \), \( a_{13} \) 的代数余子式。具体计算如下：</p>
<pre>
A11 = (-1)^(1+1) * | 5 6 | = (5*9 - 6*8) = -3
A12 = (-1)^(1+2) * | 4 6 | = -(4*9 - 6*7) = 6
A13 = (-1)^(1+3) * | 4 5 | = (4*8 - 5*7) = -3
</pre>
<p>因此：</p>
<pre>
D = 1*(-3) + 2*6 + 3*(-3) = -3 + 12 - 9 = 0
</pre>
<p>所以，该行列式的值为 \( D = 0 \)。</p>
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